Le souci a semble-t-il remplacé le problème, qui dramatisait tout de suite une situation. Souci pourrait donc être considéré comme un euphémisme. D'ailleurs, il est toujours petit. Ou inexistant.
Mais répondre "pas de souci" au lieu de "pas de problème" comme nous l'entendions couramment avant cette mode ou tic de langage, c'est signifier davantage qu'un problème. Car le sens de souci est plus lié à un état d'inquiétude, de tourment qu'à un simple embêtement ; le souci renvoie davantage à un désordre psychologique qu'à un désordre matériel. Ce remplacement s'explique par l'importance que nous accordons au "psychologique" (pas toujours à bon escient, car souvent c'est de la psychologie du sens commun , celle que pratiquait autrefois Ménie Grégoire) et par la parole politique et médiatique souvent dramatiques, hyperboliques.
Alors, non ! "Souci" n'est pas un euphémisme mais plutôt une exagération.
Bien sûr cela peut varier en fonction du point de vue , selon que l'on soit émetteur ou récepteur du "y a pas d'souci". Dire à l'autre "y a pas d'souci" n'est-ce pas d'une certaine façon diminuer son inquiétude ? "Souci de l'autre" ou seulement "souci de soi" dans les villes de grande solitude ? Implicitement narcissique l’expression est souvent utilisée par les pervers qui n’ont que le souci d’eux-mêmes. Il y en a pléthore autour de vous, de nous…
Exagération ou euphémisme, ce sera donc selon...
(Utilement complété par Professeur Mottro)